【題目】已知函數(shù)f（x）=cos ，g（x）=exf（x），其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）求曲線y=g（x）在點(diǎn)（0，g（0））處的切線方程；
（2）若對(duì)任意 時(shí)，方程g（x）=xf（x）的解的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

【答案】
（1）解：由題意得，f（x）=sinx，g（x）=exsinx，

∴g（0）=e0sin0=0；

g'（x）=ex（cosx+sinx），∴g'（0）=1；

故曲線y=g（x）在點(diǎn)（0，g（0））處的切線方程為y=x


（2）解：設(shè)H（x）=g（x）﹣xf（x）， ；

則當(dāng) 時(shí)，

H'（x）=ex（cosx+sinx）﹣sinx﹣xcosx=（ex﹣x）cosx﹣（ex﹣1）sinx，

當(dāng) ，顯然有 ；

當(dāng) 時(shí)，由 ，

即有 ，

即有H'（x）＜0，

所以當(dāng) 時(shí)，總有H'（x）＜0，

故H（x）在 上單調(diào)遞減，

故函數(shù)H（x）在 上至多有一個(gè)零點(diǎn)；

又 ， ；

且H（x）在 上是連續(xù)不斷的，

故函數(shù)H（x）在 上有且只有一個(gè)零點(diǎn)


【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出曲線y=g（x）在點(diǎn)（0，g（0））處的切線方程；（2）構(gòu)造函數(shù)H（x）=g（x）﹣xf（x）， ；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，
根據(jù)根的存在性定理即可判斷函數(shù)H（x）在 上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

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(1)求f(1)的值；

(2)判斷f(x)的單調(diào)性并證明；

(3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2；

(4)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域。

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（2）若f（+）= ， θ∈（0，），求sin2θ．

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【題目】設(shè)函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且函數(shù)y=（1﹣x）f′（x）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（　　）

A.函數(shù)f（x）有極大值f（2）和極小值f（1）
B.函數(shù)f（x）有極大值f（﹣2）和極小值f（1）
C.函數(shù)f（x）有極大值f（2）和極小值f（﹣2）
D.函數(shù)f（x）有極大值f（﹣2）和極小值f（2）

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（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）求證：直線的交點(diǎn)都在同一條直線上，并求出這條直線的方程.

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