Question

【題目】已知橢圓 經(jīng)過點(diǎn) ，離心率為 ， 為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）求橢圓 的方程．
（II）若點(diǎn) 為橢圓 上一動點(diǎn)，點(diǎn) 與點(diǎn) 的垂直平分線l交 軸于點(diǎn) ，求 的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓的離心率為 ，

所以 ，故 ，

所以橢圓 的方程為為 ，

又點(diǎn) 在橢圓上，

所以 ，

解得 ，

所以橢圓 的方程為 ．

（Ⅱ）由題意直線 的斜率存在，設(shè)點(diǎn) ，

則線段 的中點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，且直線 的斜率 ，

因?yàn)橹本� ，

故直線 的斜率為 ，且過點(diǎn) ，

所以直線 的方程為： ，

令 ，得 ，

則 ，

由 ，得 ，

化簡得 ．

所以 ．

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時等號成立

【解析】(1)根據(jù)橢圓的簡單性質(zhì)求結(jié)合點(diǎn)在橢圓上代入數(shù)值即可求出橢圓的方程。(2)假設(shè)斜率存在設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)利用中點(diǎn)的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)再結(jié)合直線垂直斜率之積為-1以及點(diǎn)在直線上求出直線的方程，然后求出直線和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)再將其代入到橢圓的方程進(jìn)而得到關(guān)于y0的代數(shù)式，再利用基本不等式求出最小值。