Question

【題目】已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，的周長為， 的離心率

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，，過點(diǎn)作軸的垂線，試判斷直線與直線的交點(diǎn)是否恒在一條定直線上？若是，求該定直線的方程；否則，說明理由.

Answer 1

【答案】（I）；（II）.

【解析】

（I）由的周長為求得橢圓的a，再離心率，然后求得橢圓的方程；

（II）設(shè)直線l：x=my+4，，聯(lián)立方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再寫出直線BD的方程為：與的交點(diǎn)，最后求解計(jì)算出與m無關(guān)，得出答案.

解：（I）由橢圓的定義，的周長為，即4a=20，解得a=5，

又橢圓的離心率，解得c=4

所以

所以橢圓方程；

（II）顯然過點(diǎn)的直線l不垂直y軸，設(shè)l：x=my+4，

聯(lián)立 ，得

韋達(dá)定理：

直線的方程為

直線BD的方程為：

解得

又點(diǎn)在直線l上，所以

再代入解得

又

代入解得(與m無關(guān))

故直線與直線BD的交點(diǎn)恒落在直線上.