Question

11．已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，直線l過定點A（1，0）．
（1）若l與圓C相切，求l的方程；
（2）若l與圓C相交于P，Q兩點，求△CPQ的面積的最大值，并求此時直線l的方程．（其中點C是圓的圓心）

Answer 1

分析 （1）直線l無斜率時，直線l的方程為x=1，成立；直線l有斜率時，設方程為kx-y-k=0，由圓心到直線的距離等于半徑，能求出直線l的方程．
（2）△CPQ面積最大時，△CPQ是等腰直角三角形，此時圓心到直線的距離為$\sqrt{2}$，設直線l的方程為kx-y-k=0，由此能求出直線l的方程．

解答 解：（1）直線l無斜率時，直線l的方程為x=1，
此時直線l和圓C相切．
直線l有斜率時，設方程為y=k（x-1），即kx-y-k=0，
∵l與圓C相切，∴圓心到直線的距離等于半徑，
即$d=\frac{{|{3k-4-k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，
解得k=$\frac{3}{4}$，∴直線l的方程為$y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}$
（2）△CPQ面積最大時，∠PCQ=90°，$S=\frac{1}{2}×2×2=2$，
即△CPQ是等腰直角三角形，
由半徑r=2得：圓心到直線的距離為$\sqrt{2}$
設直線l的方程為：y=k（x-1），即kx-y-k=0，
則$d=\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，∴k=7或k=1，
∴直線l的方程為：y=7x-7，y=x-1．

點評 本題考查直線方程的求法、直線與橢圓位置關系，本題突出對運算能力、化歸轉化能力的考查，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．