Question

1．已知正數(shù)a，b，c滿足a²+b²+c²=6．
（1）求a+b+2c的最大值；
（2）若不等式|x-1|+|x-4|+1≥a+b+2c對于滿足條件的a，b，c都成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用柯西不等式得：（a²+b²+c²）（1+1+4）≥（a+b+2c）²，即36≥（a+b+2c）²．再根據(jù)a、b、c為正實數(shù)，求得a+b+2c的最大值．
（2）由題意可得|x-1|+|x-4|+1≥（a+b+2c）_max=6，分類討論，解不等式即得所求．

解答 解：（1）∵a²+b²+c²=6，
∴由柯西不等式得：（a²+b²+c²）（1+1+4）≥（a+b+2c）²，
故有36≥（a+b+2c）²．
再根據(jù)a、b、c為正數(shù)，
∴a+b+2c≤6，即a+b+2c的最大值為6．
（2）∵a、b、c為實數(shù)，不等式|x-1|+|x-4|+1≥a+b+2c恒成立，
∴|x-1|+|x-4|+1≥（a+b+2c）_max=6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{1-x+4-x+1≥6}\end{array}\right.$①；或$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{x-1+4-x+1≥6}\end{array}\right.$②；或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞4}\\{x-1+x-4+1≥6}\end{array}\right.$③．
解①求得x≤0，解②求得x∈∅，解③求得 x≥5，
綜上可得，實數(shù)x的取值范圍為（-∞，0]∪[5，+∞）．

點評 本題主要考查分式不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．