Question

20．利用手機(jī)發(fā)放紅包已成近幾年過年的一大時(shí)尚．某市一調(diào)查機(jī)構(gòu)針對“過年收取手機(jī)紅包”的情況，抽取了600人進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如表：

收到的手機(jī)紅包金額t（單位：元）	t≤100	100＜t≤1000	t＞1000
人數(shù)（單位：人）	150	100	50

將頻率視為概率，試解決下列問題：
（Ⅰ）從該市市民中任意選取1人，求其收到的手機(jī)紅包金額超過100元的概率；
（Ⅱ）從該市市民中任意選取4人，求至多有1人收到的手機(jī)紅包金額超過100元的概率；
（Ⅲ）若從所抽取的600人中按照分層抽樣的方法隨機(jī)抽取12人，再從這12人中隨機(jī)抽取3人，記其中收到的手機(jī)紅包金額超過100元的人數(shù)為X．
（i）求所抽取的12人中，收到的手機(jī)紅包金額超過100元的人數(shù)；
（ii）求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將頻率視為概率，求出某人收到的手機(jī)紅包金額t≤100，100＜t≤1000，t＞1000的概率，由此利用互斥事件加法公式能求出任選1人，收到的手機(jī)紅包金額超過100元的概率．
（Ⅱ）設(shè)“從4人中任意選取1人，至多有1人收到的手機(jī)紅包金額超過100元”為事件A，由此利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)芮蟪鍪录�至多�?人收到的手機(jī)紅包金額超過100元的概率．
（Ⅲ）（i）由分層抽樣，求出樣本容量為2的樣本中，收到手機(jī)紅包金額t≤100，100＜t≤1000，t＞1000的人數(shù)分別為3，8，1，由此能求出所取的12人中，收到手機(jī)紅包金額超過100元的人數(shù)．
（ii）X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）將頻率視為概率，某人收到的手機(jī)紅包金額t≤100，100＜t≤1000，t＞1000的概率分別為：
${p}_{1}=\frac{150}{600}$=$\frac{1}{4}$，p₂=$\frac{400}{600}$=$\frac{2}{3}$，p₃=$\frac{50}{600}$=$\frac{1}{12}$，
∴任選1人，收到的手機(jī)紅包金額超過100元的概率為：
p=p₂+p₃=$\frac{2}{3}+\frac{1}{12}$=$\frac{3}{4}$．
（Ⅱ）設(shè)“從4人中任意選取1人，至多有1人收到的手機(jī)紅包金額超過100元”為事件A，
則P（A）=${C}_{4}^{0}（\frac{1}{4}）^{4}+{C}_{4}^{1}（\frac{1}{4}）^{3}（\frac{3}{4}）$=$\frac{13}{256}$．
（Ⅲ）由分層抽樣，知：
樣本容量為2的樣本中，收到手機(jī)紅包金額t≤100，100＜t≤1000，t＞1000的人數(shù)分別為3，8，1，
（i）所取的12人中，收到手機(jī)紅包金額超過100元的人數(shù)為8+1=9．
（ii）X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{220}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{9}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{220}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{9}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{55}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{9}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{21}{55}$，
∴X的分布列為：

X	0	1
P	$\frac{1}{220}$	$\frac{27}{220}$

∴E（X）=$0×\frac{1}{220}+1×\frac{27}{220}$+$2×\frac{27}{55}$+3×$\frac{21}{55}$=$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．