Question

11．設(shè)點(diǎn)P是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與圓x²+y²=a²+b²在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)且|PF₁|=3|PF₂|，則雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，可知PF₁⊥PF₂，由已知結(jié)合雙曲線的定義求得|PF₁|，|PF₂|，再由勾股定理得答案．

解答 解：如圖，
∵圓x²+y²=a²+b² =c²，
∴F₁F₂為圓的直徑，則PF₁⊥PF₂，
由$\left\{\begin{array}{l}{|P{F}_{1}|-|P{F}_{2}|=2a}\\{|P{F}_{1}|=3|P{F}_{2}|}\end{array}\right.$，解得|PF₁|=3a，|PF₂|=a，
∴$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=9{a}^{2}+{a}^{2}=4{c}^{2}$，
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{10}{4}$，得e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了雙曲線定義的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．