Question

15．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=1，BC=2，AC⊥BC，D，E，F(xiàn)分別為棱AA₁，A₁B₁，AC的中點．
（1）求證：EF∥平面BCC₁B₁
（2）若EF=2，求三棱錐C₁-DCB的體積．

Answer 1

分析 （1）取B₁C₁的中點G，連接EG，CG，證明EFCG是平行四邊形，可得EF∥CG，即可證明EF∥平面BCC₁B₁
（2）利用三棱錐C₁-DCB的體積=三棱錐B-C₁DC的體積=$\frac{1}{3}{S}_{△DC{C}_{1}}•BC$，求三棱錐C₁-DCB的體積．

解答 證明：（1）取B₁C₁的中點G，連接EG，CG，則EG∥A₁C₁，EG=$\frac{1}{2}$A₁C₁，
∵F是AC的中點，
∴CF∥A₁C₁，CF=$\frac{1}{2}$A₁C₁，
∴EG∥CF，EG=CF，
∴EFCG是平行四邊形，
∴EF∥CG，
∵EF?平面BCC₁B₁，CG?平面BCC₁B₁，
∴EF∥平面BCC₁B₁
解：（2）∵EF=2，
∴CG=2，
∵BC=2，
∴CC₁=$\sqrt{3}$，
∴${V}_{{C}_{1}-DCB}$=${V}_{{B-C}_{1}DC}$=$\frac{1}{3}{S}_{△DC{C}_{1}}•BC$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•\sqrt{3}•1•2$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．