Question

17．已知曲線y=$\sqrt{x}$與y=$\frac{8}{x}$的交點為P，兩曲線在點P處的切線分別為l₁，l₂，則切線l₁，l₂及y軸所圍成的三角形的面積為6．

Answer 1

分析 先聯(lián)立方程，求出兩曲線交點，再分別對y=$\sqrt{x}$與y=$\frac{8}{x}$求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)，求出兩曲線在交點處的切線斜率，利用點斜式求出切線方程，找到兩切線與y軸交點，最后用面積公式計算面積即可．

解答 解：曲線y=$\sqrt{x}$與y=$\frac{8}{x}$，它們的交點坐標(biāo)是P（4，2），
y=$\sqrt{x}$的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，在P處的切線的斜率為$\frac{1}{4}$，
y=$\frac{8}{x}$的導(dǎo)數(shù)為y′=-$\frac{8}{{x}^{2}}$，在P處的切線的斜率為-$\frac{1}{2}$，
兩條切線方程分別是y=$\frac{1}{4}$x+1和y=-$\frac{1}{2}$x+4，
x=0時，y=1和y=4，
兩切線的交點為（4，2），
于是三角形三頂點坐標(biāo)分別為 （0，1）；（0，4）；（4，2），
它們與y軸所圍成的三角形的面積是$\frac{1}{2}$×（4-1）×4=6．
故答案為：6．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，注意運用直線方程，求交點，考查面積公式的運用，屬于中檔題．