已知數(shù)列中,,前和
(Ⅰ)求證:數(shù)列是等差數(shù)列; (Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)一切正整數(shù)都成立?若存在,求的最小值,若不存在,試說明理由.
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,.
解析試題分析:(Ⅰ)對(duì)條件式進(jìn)行變形,得到遞推關(guān)系得證;(Ⅱ)由條件求出首項(xiàng)和公差即得;(Ⅲ)利用裂項(xiàng)相消法求出,再考察的上確界,可得的最小值.
試題解析:(Ⅰ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/41/5/5l9d52.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,
所以,
整理,得,所以,
所以,
所以,所以,
所以,數(shù)列為等差數(shù)列。
(Ⅱ),,所以,即為公差,
所以;
(Ⅲ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f6/3/1paog3.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以,
所以對(duì)時(shí),,且當(dāng)時(shí),,所以要使對(duì)一切正整數(shù)都成立,只要,所以存在實(shí)數(shù)使得對(duì)一切正整數(shù)都成立,的最小值為.
考點(diǎn):等差數(shù)列、數(shù)列的求和、不等式、裂項(xiàng)相消法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)的和為,對(duì)于任意正整數(shù)m,n, 恒成立.
(Ⅰ)若=1,求及數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若,求證:數(shù)列是等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列為公差不為的等差數(shù)列,為前項(xiàng)和,和的等差中項(xiàng)為,且.令數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求及;
(2)是否存在正整數(shù)成等比數(shù)列?若存在,求出所有的的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù)
(Ⅰ)證明對(duì)每一個(gè),存在唯一的,滿足;
(Ⅱ)由(Ⅰ)中的構(gòu)成數(shù)列,判斷數(shù)列的單調(diào)性并證明;
(Ⅲ)對(duì)任意,滿足(Ⅰ),試比較與的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
公差不為零的等差數(shù)列{}中,,又成等比數(shù)列.
(I) 求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式.
(II)設(shè),求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對(duì)任意滿足,且.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
甲、乙兩人用農(nóng)藥治蟲,由于計(jì)算錯(cuò)誤,在A、B兩個(gè)噴霧器中分別配制
成12%和6%的藥水各10千克,實(shí)際要求兩個(gè)噴霧器中的農(nóng)藥的濃度是一樣的,現(xiàn)在只有兩個(gè)容量為1千
克的藥瓶,他們從A、B兩個(gè)噴霧器中分別取1千克的藥水,將A中取得的倒入B中,B中取得的倒入A
中,這樣操作進(jìn)行了n次后,A噴霧器中藥水的濃度為,B噴霧器中藥水的濃度為.
(1)證明:是一個(gè)常數(shù);
(2)求與的關(guān)系式;
(3)求的表達(dá)式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知是數(shù)列的前項(xiàng)和,且對(duì)任意,有,
求的通項(xiàng)公式;
求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(12分)在等差數(shù)列{an}中,a1+a3=8,且a4為a2和a9的等比中項(xiàng),求數(shù)列{an}的首項(xiàng),公差及前n項(xiàng)和.
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