Question

3．若a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）=4x³-ax²-2bx在x=1處有極值，則$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{4}{9}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由極值的定義可得f′（1）=0，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值，注意等號成立的條件．

解答 解：函數(shù)f（x）=4x³-ax²-2bx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=12x²-2ax-2b，
由函數(shù)f（x）=4x³-ax²-2bx在x=1處有極值，可得
f′（1）=0，即12-2a-2b=0，即為a+b=6，（a，b＞0），
則$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{6}$（a+b）（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$）
=$\frac{1}{6}$（5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}$）≥$\frac{1}{6}$•（5+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}}$）=$\frac{1}{6}$•（5+4）=$\frac{3}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4b}{a}$=$\frac{a}$，即有a=2b=4時，取得最小值$\frac{3}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：判斷極值，基本不等式的運用：求最值，注意運用乘1法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題和易錯題．