Question

已知橢圓C與雙曲線x²-

y2

3

=1的焦點(diǎn)相同，且與直線y=x+4有公共點(diǎn)，當(dāng)橢圓C的長(zhǎng)軸最短時(shí)，橢圓C的離心率=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)已知條件便可得到c=2，并且可設(shè)出橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

a2-4

=1，并且得到方程組

x2 a2 + y2 a2-4 =1 y=x+4

有解，從而得到方程

x2

a2

+

(x+4)2

a2-4

=1有解，所以根據(jù)判別式△≥0得到a²≥10，所以a的最小值為

10

，所以帶入橢圓的離心率公式即可求其離心率．

解答： 解：橢圓C的焦點(diǎn)為（-2，0），（2，0）；
∴設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

a2-4

=1；
橢圓C與直線y=x+4有公共點(diǎn)；
∴方程

x2

a2

+

(x+4)2

a2-4

=1，即(

1

a2

+

1

a2-4

)x2+

8

a2-4

x+

16

a2-4

-1=0有解；
∴△=a⁴-14a²+40≥0；
解得a²≥10，或a²≤4；
∵a＞2；
∴a²≥10；
∴a的最小值為

10

；
∴該橢圓的離心率為

c

a

=

2

10

=

10

5

．
故答案為：

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：考查雙曲線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的長(zhǎng)軸、焦點(diǎn)的概念，橢圓與直線有公共點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的方程的關(guān)系，一元二次方程有解的充要條件，以及橢圓離心率的計(jì)算公式．