已知正方形ABCD,E,F(xiàn)分別是邊AB,CD的中點,將△ADE沿DE折起,如圖所示,記二面角A-DE-D的大小為).

(1)證明BF//平面ADE;

(2)若△ACD為正三角形,試判斷點A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上,證明你的結(jié)論,并求角的余弦值.

(Ⅰ)證明:E、F分別是正方形ABCD的邊ABCD的中點.

∴ED//FB且EB=FD

∴四邊形EBFD是平行四邊形

∴BF//ED

∴ED平面AED而BF平面AED

∴BF//平面AED

(Ⅱ)解法一:點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,過點A用AG⊥平面BCDE垂足為G,連接GC,GD

∵△ACD為正三角形

∴AC=AD

∴GC=GD

∴G在CD的垂直平分線上。

又∵EF是CD的垂直平分線

∴點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上

過G作GH⊥ED,垂足為H,連接AH則AH⊥DE

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角,即∠AHG =

設(shè)原正方形ABCD的邊長為,連接AF,

在折后圖的△AEF中,AF=,EF=2AE=

△AEF為直角三角形,AG?EF=AE?AF

∴AG=

在Rt△ADE中,AH?DE=AD?AE

∴AH=

∴GH=

解法二:點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,連結(jié)AF,在平面AEF內(nèi)過點A作AG′⊥EF,垂足為G′

∵△ACD為正三角形,F(xiàn)為CD的中點,

∴AF⊥CD

又∵EF⊥CD

∴CD⊥平面AEF

∵AG′平面AEF

∴CD⊥AG′

又∵AG′⊥EF,且CD∩EF=F,CD平面BCDE,EF平面BCDE,

∴AG⊥平面BCDE,

∴G′為A在平面BCDE內(nèi)的射影G。

∴點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上

過G作GH⊥ED,垂足為H,連結(jié)AH,則AH⊥DE,

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角,即∠AHG =

設(shè)原正方形ABCD的邊長為。

在折后圖的△AEF中,AF=,EF=2AE=

∴△AEF為直角三角形,AG?EF=AE?AF,

∴AG=,

在Rt△ADE中,AH?DE=AD?AE,

∴AH=

∴GH=

解法三:

點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上連結(jié)AF,在平面AEF內(nèi)過點A作AG′⊥EF,垂足為G′

∵△ACD為正三角形,F(xiàn)為CD的中點

∴AF⊥CD

又∵EF⊥CD

∴CD⊥平面AEF

∵CD平面BCDE,

∴平面AEF⊥平面BCDE

平面AEF∩平面BCDE=EF,AG′⊥EF,

∴AG′⊥平面BCDE,即G′為A在平面BCDE內(nèi)的射影G,

∴點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上。

過G作GH⊥DE,垂足為H,連結(jié)AH,則AH⊥DE

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角,即∠AHG =

設(shè)原正方形ABCD的邊長為

在折后圖的中,.

在折后圖的△AEF中,AF=,EF=2AE=

∴△AEF為直角三角形,AG?EF=AE?AF,

∴AG=,

在Rt△ADE中,AH?DE=AD?AE,

∴AH=

∴GH=

………………………12分

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已知正方形ABCD的邊長為2,點P為對角線AC上一點,則(
.
AP
+
.
BD
)•(
.
PB
+
.
PD
)的最大值為
 

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已知正方形ABCD邊長為1,則|
AB
+
BC
+
AC
|
=( 。
A、0
B、2
C、
2
D、2
2

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已知正方形ABCD的邊長為1,分別取邊BC、CD的中點E、F,連接AE、EF、AF,以AE、EF、FA為折痕,折疊使點B、C、D重合于一點P.
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(Ⅰ)證明BF∥平面ADE;
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