Question

17．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-1
（1）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數(shù)f（x）的取值范圍；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若f（$\frac{C}{2}$）=2，求∠C．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，利用余弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）的取值范圍．
（Ⅱ）在△ABC中，由f（$\frac{C}{2}$）=2，求得cos（C-$\frac{π}{3}$）=1，從而求得∠C的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-1=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2cos（2x-$\frac{π}{3}$），
當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴-$\frac{1}{2}$≤cos（2x-$\frac{π}{3}$）≤1，∴f（x）∈[-1，2]．
（Ⅱ）在△ABC中，∵f（$\frac{C}{2}$）=2cos（C-$\frac{π}{3}$）=2，可得cos（C-$\frac{π}{3}$）=1，
結合C-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），可得C-$\frac{π}{3}$=0，∴∠C=$\frac{π}{3}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．