Question

17．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對?n∈N^*有2S_n=a${\;}_{n}^{2}$+a_n，令b_n=$\frac{\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}}{\sqrt{{a}_{n+1}}•\sqrt{{a}_{n}}}$，設(shè){b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，則T_n的最小值為1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式后代入b_n=$\frac{\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}}{\sqrt{{a}_{n+1}}•\sqrt{{a}_{n}}}$，得到$_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，作和后可得T_n的最小值．

解答 解：由2S_n=${{a}_{n}}^{2}$+a_n，得$2{S}_{n+1}={{a}_{n+1}}^{2}+{a}_{n+1}$，
兩式作差得$2{a}_{n+1}={{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}+{a}_{n+1}-{a}_{n}$，
∴a_n+1+a_n=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），
則（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=1．
又由2S_n=${{a}_{n}}^{2}$+a_n，得$2{a}_{1}={{a}_{1}}^{2}+{a}_{1}$，解得a₁=1．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
則a_n=1+1×（n-1）=n．
b_n=$\frac{\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}}{\sqrt{{a}_{n+1}}•\sqrt{{a}_{n}}}$=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}•\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，
則T_n=$\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$=$1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$．
∴當(dāng)n=1時(shí)，T_n的最小值為1-$\frac{1}{\sqrt{2}}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．