Question

8．設函數(shù)f（x）=|2x+a|+|x-$\frac{1}{a}$|（x∈R，實數(shù)a＜0）．
（Ⅰ）若f（0）＞$\frac{5}{2}$，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求證：f（x）≥$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）去掉絕對值號，解關于a的不等式組，求出a的范圍即可；（Ⅱ）通過討論x的范圍，結合基本不等式的性質求出求出f（x）的最小值即可．

解答 （Ⅰ）解：∵a＜0，∴f（0）=|a|+|-$\frac{1}{a}$|=-a-$\frac{1}{a}$＞$\frac{5}{2}$，
即a²+$\frac{5}{2}$a+1＞0，
解得a＜-2或-$\frac{1}{2}$＜a＜0；
（Ⅱ）證明：f（x）=|2x+a|+|x-$\frac{1}{a}$|=$\left\{\begin{array}{l}{3x+a-\frac{1}{a}，x≥-\frac{a}{2}}\\{-x-a-\frac{1}{a}，\frac{1}{a}＜x＜-\frac{a}{2}}\\{-3x-a+\frac{1}{a}，x≤\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，
當x≥-$\frac{a}{2}$時，f（x）≥-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{a}$；
當$\frac{1}{a}$＜x＜-$\frac{a}{2}$時，f（x）＞-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{a}$；
當x≤$\frac{1}{a}$時，f（x）≥-a-$\frac{2}{a}$，
∴f（x）_min=-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{（-\frac{a}{2}）（-\frac{1}{a}）}$=$\sqrt{2}$，
當且僅當-$\frac{a}{2}$=-$\frac{1}{a}$即a=-$\sqrt{2}$時取等號，
∴f（x）≥$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了基本不等式的性質，考查解絕對值不等式問題，是一道中檔題．