Question

3．已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若A（0，1），設(shè)M，N是橢圓上異于點(diǎn)A的任意兩點(diǎn)，且AM⊥AN，線段MN的中垂線l與x軸的交點(diǎn)為（m，0），求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），運(yùn)用離心率公式，以及a，b，c的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，由直線y=kx+t代入橢圓方程x²+4y²=4，可得（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，結(jié)合兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，由基本不等式可得最值，進(jìn)而得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
可得a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得c=$\sqrt{3}$，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
由直線y=kx+t代入橢圓方程x²+4y²=4，可得
（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，
△=64k²t²-16（1+4k²）（4t²-4）＞0，即1+4k²＞t²，
x₁+x₂=-$\frac{8kt}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
可得MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{4kt}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{t}{1+4{k}^{2}}$），
中垂線方程為y-$\frac{t}{1+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{4kt}{1+4{k}^{2}}$），
令y=0，可得x=m=-$\frac{3kt}{1+4{k}^{2}}$，
由AM⊥AN，可得$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=-1，
即為（1+k²）x₁x₂+（t-1）²+k（t-1）（x₁+x₂）=0，
化為（1+k²）（4t²-4）+（t-1）²（1+4k²）+4（t-1）（-8kt）=0，
解得t=1或-$\frac{3}{5}$，
當(dāng)t=1時(shí)，y=kx+1恒過點(diǎn)（0，1），不存在M，N是橢圓上異于點(diǎn)A的任意兩點(diǎn)，舍去；
即有m=$\frac{9k}{5（1+4{k}^{2}）}$，
當(dāng)k=0時(shí)，m=0；
k＞0時(shí)，m=$\frac{9k}{5（1+4{k}^{2}）}$=$\frac{9}{5（4k+\frac{1}{k}）}$≤$\frac{9}{5×4}$=$\frac{9}{20}$，即為0＜m≤$\frac{9}{20}$；
同樣當(dāng)k＜0時(shí)，可得-$\frac{9}{20}$≤m＜0．
綜上可得m的范圍是[-$\frac{9}{20}$，$\frac{9}{20}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和橢圓的性質(zhì)，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及基本不等式求范圍，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．