Question

16．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+2+a_ncosnπ=1，記S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則S₁₀₀=1300．

Answer 1

分析 通過(guò)余弦函數(shù)的性質(zhì)可知a_2n+1-a_2n-1=1、a_2n+2+a_2n=1，進(jìn)而可知a_2n-1=n，利用S₁₀₀=（a₁+a₃+a₅+…+a₉₇+a₉₉）+[（a₂+a₄）+（a₆+a₈）+…+（a₉₈+a₁₀₀）]計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵cosnπ=$\left\{\begin{array}{l}{-1，}&{n為奇數(shù)}\\{1，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
∴a_2n+1-a_2n-1=1，a_2n+2+a_2n=1，
又∵a₁=1，
∴數(shù)列{a_2n-1}是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，
∴a_2n-1=n，
∴S₁₀₀=（a₁+a₃+a₅+…+a₉₇+a₉₉）+[（a₂+a₄）+（a₆+a₈）+…+（a₉₈+a₁₀₀）]
=$\frac{50（1+50）}{2}$+25
=1300，
故答案為：1300．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查分組法求和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．