Question

7．已知點(diǎn)P，Q分別是拋物線C：x²=2py（p＞0）與圓M：x²+（y-p）²=1上的動(dòng)點(diǎn)，且|PQ|的最小值為2，則拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求出y=$\frac{1}{2p}$x²的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為（m，$\frac{{m}^{2}}{2p}$），由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程，求出圓心和半徑，由題意可得圓心到切線的最小值即為PQ的最小值加1，即為3．運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合換元法和基本不等式即可得到所求最小值，即為拋物線的焦準(zhǔn)距．

解答 解：x²=2py（p＞0）即y=$\frac{1}{2p}$x²的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{x}{p}$，
設(shè)切點(diǎn)為（m，$\frac{{m}^{2}}{2p}$），可得拋物線的切線方程為y-$\frac{{m}^{2}}{2p}$=$\frac{m}{p}$（x-m），
化為mx-py-$\frac{{m}^{2}}{2}$=0，
圓M：x²+（y-p）²=1的圓心M（0，p），半徑為1，
由題意可得圓心到切線的最小值即為PQ的最小值加1，即為3．
由M到切線的距離d=$\frac{|0-{p}^{2}-\frac{{m}^{2}}{2}|}{\sqrt{{m}^{2}+{p}^{2}}}$=$\frac{2{p}^{2}+{m}^{2}}{2\sqrt{{m}^{2}+{p}^{2}}}$，
可令t=$\sqrt{{m}^{2}+{p}^{2}}$，則m²=t²-p²，
則d=$\frac{2{p}^{2}+{t}^{2}-{p}^{2}}{2t}$=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{{p}^{2}}{t}$）≥$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{t•\frac{{p}^{2}}{t}}$=p，
當(dāng)且僅當(dāng)t=p時(shí)，取得最小值p，
即有p=3．
則拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p=3．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查圓的方程的運(yùn)用，以及轉(zhuǎn)化思想，考查點(diǎn)到直線的距離公式和拋物線的切線方程的求法，考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，以及化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．