Question

17．已知曲線E上的任意點到點F（1，0）的距離比它到直線x=-2的距離小1．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）點D的坐標(biāo)為（2，0），若P為曲線E上的動點，求$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PF}$的最小值；
（Ⅲ）設(shè)點A為y軸上異于原點的任意一點，過點A作曲線E的切線l，直線x=3分別與直線l及x軸交于點M，N，以MN為直徑作圓C，過點A作圓C的切線，切點為B，試探究：當(dāng)點A在y軸上運動（點A與原點不重合）時，線段AB的長度是否發(fā)生變化？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的定義得出軌跡方程；
（2）設(shè)出P點坐標(biāo)（x，y），將$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PF}$表示為x（或y）的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求出最小值；
（3）設(shè)A坐標(biāo)（0，b）和直線l的斜率k，根據(jù)相切得出k，b的關(guān)系，求出M，N坐標(biāo)得出圓C的圓心和半徑，利用切線的性質(zhì)得出AB的長．

解答 解：（I）由題意可知曲線E為以F為焦點，以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
∴曲線E的方程為y²=4x．
（II）設(shè)P（$\frac{{y}^{2}}{4}$，y），則$\overrightarrow{PD}=（2-\frac{{y}^{2}}{4}，-y）$，$\overrightarrow{PF}=（1-\frac{{y}^{2}}{4}，-y）$，
∴$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PF}$=（2-$\frac{{y}^{2}}{4}$）（1-$\frac{{y}^{2}}{4}$）+y²=$\frac{1}{16}$（y²+2）²+$\frac{7}{4}$．
∵y²≥0，
∴當(dāng)y²=0時，$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PF}$取得最小值2．
（III）設(shè)A（0，b），
顯然x=0為拋物線E的一條切線，此時，x=0與x=3無交點，
故點M不存在，不符合題意，
設(shè)拋物線E的另一條切線l的方程為y=kx+b，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
∵直線l與曲線C相切，
∴△=（2kb-4）²-4k²b²=0，即kb=1．∴k=$\frac{1}$．
∴直線l的方程為y=$\frac{1}x+b$，
令x=3得y=b+$\frac{3}$．
∴M（3，b+$\frac{3}$），N（3，0）．
∴以MN為直徑的圓C的圓心為C（3，$\frac{2}$+$\frac{3}{2b}$），半徑r=|$\frac{2}+\frac{3}{2b}$|，
∴AC²=9+（$\frac{3}{2b}$-$\frac{2}$）²．
∵AB是圓C的切線，∴AB²=AC²-BC²=AC²-r²=6．
∴AB=$\sqrt{6}$．
即點A在y軸上運動（點A與原點不重合）時，線段AB的長度不發(fā)生變化．

點評 本題考查了拋物線的定義，向量的數(shù)量積運算，直線與圓錐曲線的關(guān)系，屬于中檔題．