Question

4．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{2x+1}{x}$（a∈R）在x=2處的切線與直線4x+y=0垂直．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若存在x∈（1，+∞），使f（x）$＜\frac{m（x-1）+2}{x}$（m∈Z）成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（2）的值，求出a，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為存在x∈（1，+∞），使$m＞\frac{xlnx+2x-1}{x-1}$成立，得到m＞g（x）_min，設(shè)$g（x）=\frac{xlnx+2x-1}{x-1}（x＞1）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{a}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{ax-1}{x^2}$，
由已知，$f'（2）=\frac{2a-1}{4}=\frac{1}{4}$，解得：a=1，
∴$f'（x）=\frac{x-1}{x^2}$，
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f'（x）≤0，f （x）是減函數(shù)，
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f'（x）≥0，f （x）是增函數(shù)，
∴函數(shù)f （x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1]，單調(diào)遞增區(qū)間是[1，+∞）．
（Ⅱ）解：∵x∈（1，+∞），
∴$f（x）＜\frac{m（x-1）+2}{x}$等價(jià)于$m＞\frac{xlnx+2x-1}{x-1}$，
即存在x∈（1，+∞），使$m＞\frac{xlnx+2x-1}{x-1}$成立，
∴m＞g（x）_min，
設(shè)$g（x）=\frac{xlnx+2x-1}{x-1}（x＞1）$，
則$g'（x）=\frac{x-2-lnx}{{{{（x-1）}^2}}}$，
設(shè)h（x）=x-2-lnx（x＞1），
則$h'（x）=1-\frac{1}{x}＞0$
∴h （x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
又h （3）＜0，h （4）＞0，
∴h （x）在（1，+∞）上有唯一零點(diǎn)，
設(shè)為x₀，則x₀-2=lnx₀，且x₀∈（3，4），
$g{（x）_{min}}=g（{x_0}）=\frac{{{x_0}ln{x_0}+2{x_0}-1}}{{{x_0}-1}}=\frac{{{x_0}（{x_0}-2）+2{x_0}-1}}{{{x_0}-1}}={x_0}+1$，
又m＞x₀+1，
∴m的最小值是5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)存在性問題，是一道中檔題．