Question

10．設(shè)p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0（a＞0）；命題q：實數(shù)x滿足$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x-6≤0\\{x^2}+2x-8＞0\end{array}\right.$
（1）若a=1，且“p且q”為真，求實數(shù)x的取值范圍
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=1，分別求出p，q成立的等價條件，利用且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）利用￢p是￢q的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由x²-4ax+3a²＜0（a＞0）得（x-a）（x-3a）＜0，
得a＜x＜3a，a＞0，則p：a＜x＜3a，a＞0．
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x-6≤0\\{x^2}+2x-8＞0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤3}\\{x＞2或x＜-4}\end{array}\right.$，解得2＜x≤3．
即q：2＜x≤3．
（1）若a=1，則p：1＜x＜3，
若p∧q為真，則p，q同時為真，
即$\left\{\begin{array}{l}{2＜x≤3}\\{1＜x＜3}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3，
∴實數(shù)x的取值范圍（2，3）．
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a＞3}\\{a≤2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤2}\end{array}\right.$，
解得1＜a≤2．

點評 本題主要考查復(fù)合命題與簡單命題之間的關(guān)系，利用逆否命題的等價性將￢p是￢q的充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為q是p的充分不必要條件是解決本題的關(guān)鍵，