Question

12．已知A，B，C，D為圓O上的四點(diǎn)，直線PA切圓O于點(diǎn)A，PA∥BD，AC與BD相交于G點(diǎn)．
（1）求證：點(diǎn)A為劣弧$\widehat{BD}$的中點(diǎn)．
（2）若AC=6，AB=3，BC=4，求BG的長．

Answer 1

分析 （1）證明∠BCA=∠DCA，即可證明點(diǎn)A為劣弧$\widehat{BD}$的中點(diǎn)．
（2）證明△ABG∽△ACB，利用AC=6，AB=3，BC=4，即可求BG的長．

解答 （1）證明：∵PA∥BD，∴∠ABD=∠BAP  …（2分）
又∵直線PA為圓O的切線，∴∠BAP=∠BCA，∴∠ABD=∠BCA
而∠ABD=∠ACD（同�。�，
∴∠BCA=∠DCA，
∴點(diǎn)A為劣弧BD的中點(diǎn)． …（5分）
（2）解：由（1）知∠ABD=∠BCA，又∵∠BAG為公共角，∴△ABG∽△ACB
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BG}{BC}$，
又∵AC=6，AB=3，BC=4，
∴$\frac{3}{6}$=$\frac{BG}{4}$，∴BG=2   …（10分）

點(diǎn)評 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．