Question

18．求y=$\sqrt{1+x}$+2$\sqrt{1-x}$的值域．

Answer 1

分析 先確定定義域，再求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性得到最大最小值，從而得到值域．

解答 解：∵y=$\sqrt{1+x}$+2$\sqrt{1-x}$，
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋篬-1，1]，
y′=$\frac{1}{2\sqrt{1+x}}$-$\frac{1}{\sqrt{1-x}}$=$\frac{\sqrt{1-x}-2\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1-{x}^{2}}}$，
令y′=0，
得x=-$\frac{3}{5}$，
∴y在[-1，-$\frac{3}{5}$）是單調(diào)遞增的，在（-$\frac{3}{5}$，1]是單調(diào)遞減的．
∴y的最大值在x=-$\frac{3}{5}$處取得，為$\sqrt{10}$
y有最小值為$\sqrt{2}$，在x=1處取得，
∴函數(shù)y=$\sqrt{1+x}$+2$\sqrt{1-x}$的值域?yàn)閇$\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查確定定義域以及由導(dǎo)函數(shù)確定單調(diào)性，從單調(diào)性里面找到最大最小值．