(本小題滿分14分)已知函數(shù),其中
(Ⅰ)求在上的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求在(為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值;
(III)對任意給定的正實數(shù),曲線上是否存在兩點、,使得是以原點為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上?
(1)在上的單調(diào)減區(qū)間為, :單調(diào)增區(qū)間為
(2)在上的最大值為2
(3) 對任意給定的正實數(shù),曲線上存在兩點,使得△是以為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上
解析試題分析:(Ⅰ)因為
當(dāng)時,,
解得到;解得到或.所以在上的單調(diào)減區(qū)間為, :單調(diào)增區(qū)間為 ………………4分
(Ⅱ)①當(dāng)時,由(Ⅰ)知在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,從而在處取得極大值.
又,所以在上的最大值為2.……………………6分
②當(dāng)時,,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,所以在上的最大值為.所以當(dāng)時,在上的最大值為;當(dāng)時,在上的最大值為2. …………………………8分
(Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點,使得是以為直角頂點的直角三角形,則只能在軸的兩側(cè),不妨設(shè),則,且. …9分
因為是以為直角頂點的直角三角形,所以,
即:(1) ……………………………………10分
是否存在點等價于方程(1)是否有解.
若,則,代入方程(1)得:,此方程無解.…11分
若,則,代入方程(1)得到: ……12分
設(shè),則在上恒成立.所以在上單調(diào)遞增,從而,即有的值域為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),設(shè)
(1)試確定的取值范圍,使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù);
(2)求函數(shù)在上的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
某企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖1;B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2(注:利潤和投資單位:萬元).
(1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式;
(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金,并將全部投入A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn).
①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品,可獲得多少利潤?
②問:如果你是廠長,怎樣分配這18萬元投資,才能使該企業(yè)獲得最大利潤?其最大利潤約為多少萬元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(12分)某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元,每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元,已知總收益滿足函數(shù): ,其中是儀器的月產(chǎn)量
(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)
(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時,公司所獲利潤最大?最大利潤是多少元?(總收益=總成本+利潤)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題13分)已知函數(shù)在點處的切線與直線垂直.
(1)若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值都有,求實數(shù)的最小值;
(2)若過點可作曲線的三條切線,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分16分)
已知函數(shù),
(1)若在上的最大值為,求實數(shù)的值;
(2)若對任意,都有恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,設(shè),對任意給定的正實數(shù),曲線 上是否存在兩點,使得是以(為坐標(biāo)原點)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上?請說明理由。
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