Question

19．已知函數(shù)f（x）滿足xf′（x）=（x-1）f（x），且f（1）=1，則f（x）的值域為（-∞，0）∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件構造函數(shù)g（x）=xf（x），求函數(shù)的導數(shù)，結合函數(shù)極值和導數(shù)之間的關系求函數(shù)的極值和單調(diào)性即可得到結論．

解答 解：∵xf′（x）=（x-1）f（x），
∴f（x）+xf′（x）=xf（x）
設g（x）=xf（x），
則g′（x）=f（x）+xf′（x），
即g′（x）=g（x），
則g（x）=ce^x，
∵f（1）=1，
∴g（1）=f（1）=1，
即g（1）=ce=1，則c=$\frac{1}{e}$，
則g（x）=xf（x）=$\frac{1}{e}$•e^x，
則f（x）=$\frac{{e}^{x}}{ex}$，（x≠0），
函數(shù)的導數(shù)f′（x）=$\frac{{e}^{x}ex-{e}^{x}•e}{（ex）^{2}}$=$\frac{（x-1）{e}^{x}}{e{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得x＞1，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得x＜0或0＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即當x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值，此時f（1）=$\frac{e}{e}$=1，即當x＞0時，f（x）≥1，
當x＜0時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，且f（x）＜0，
綜上f（x）≥1或f（x）＜0，
即函數(shù)的值域為（-∞，0）∪[1，+∞），
故答案為：（-∞，0）∪[1，+∞），

點評 本題主要考查函數(shù)與導數(shù)的關系，根據(jù)條件構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)性是解決本題的關鍵．