Question

3．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的邊長分別為a、b、c．已知acosB-$\frac{1}{2}$b=$\frac{{a}^{2}}{c}$-$\frac{bsinB}{sinC}$．
（1）求角A；
（2）若a=$\sqrt{3}$，求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理化簡已知可得a²=c²+b²-bc，根據(jù)余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍A∈（0，π），即可解得A的值．
（2）通過余弦定理以及基本不等式求出b+c的范圍，再利用三角形三邊的關(guān)系求出b+c的范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）在△ABC中，∵acosB-$\frac{1}{2}$b=$\frac{{a}^{2}}{c}$-$\frac{bsinB}{sinC}$，由正弦定理可得：acosB-$\frac{1}{2}$b=$\frac{{a}^{2}}{c}$-$\frac{^{2}}{c}$，
∴由余弦定理可得：a×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$-$\frac{1}{2}$b=$\frac{{a}^{2}}{c}$-$\frac{^{2}}{c}$，整理可得：a²=c²+b²-bc，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．…6分
（2）∵由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，則3=b²+c²-bc，
∴（b+c）²-3bc=3，
即3bc=（b+c）²-3≤3[$\frac{1}{2}$（b+c）]²，
化簡得，（b+c）²≤12（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號），
則b+c≤2$\sqrt{3}$，
又∵b+c＞a=$\sqrt{3}$，
綜上得，b+c的取值范圍是（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]…12分

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．