Question

15．對于給定的函數f（x），定義f_n（x）如下：f_n（x）=$\sum_{k=0}^{n}$C${\;}_{n}^{k}$f（$\frac{k}{n}$）x^k（1-x）^n-k，其中n≥2，n∈N^*．
（1）當f（x）=1時，求證：f_n（x）=1；
（2）當f（x）=x時，比較f₂₀₁₄（2013）與f₂₀₁₃（2014）的大小．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二項式定理即可證明結論成立；
（2）由題意和組合數的性質、計算公式，分別求出f₂₀₁₄（2013）與f₂₀₁₃（2014），再比較大�。�

解答 證明：（1）∵f（x）=1，
∴f_n（x）=$\sum_{k=0}^{n}$C${\;}_{n}^{k}$f（$\frac{k}{n}$）x^k（1-x）^n-k=$\sum_{k=0}^{n}$C${\;}_{n}^{k}$•x^k（1-x）^n-k
=$\sum_{k=1}^{n}$C${\;}_{n}^{k}$•x^k（1-x）^n-k=[（1-x）+x]ⁿ=1；
解：（2）∵f（x）=x，f_n（x）=$\sum_{k=0}^{n}$C${\;}_{n}^{k}$f（$\frac{k}{n}$）x^k（1-x）^n-k，
∴f₂₀₁₄（2013）=$\sum_{k=0}^{2014}{C}_{2014}^{k}f（\frac{k}{2014}）{2013}^{k}{（1-2013）}^{2014-k}$
=$\sum_{k=0}^{2014}{C}_{2014}^{k}•\frac{k}{2014}•{2013}^{k}{（1-2013）}^{2014-k}$
=$\frac{1}{2014}•\sum_{k=0}^{2014}{k•C}_{2014}^{k}•{2013}^{k}{（1-2013）}^{2014-k}$
=$\frac{1}{2014}$•$\sum_{k=1}^{2014}{2014•C}_{2013}^{k-1}{2013}^{k}{（1-2013）}^{2014-k}$
=$\sum_{k=1}^{2014}{C}_{2013}^{k-1}{2013}^{k}{（1-2013）}^{2014-k}$=2013$\sum_{k=1}^{2014}{C}_{2013}^{k-1}{2013}^{k-1}{（1-2013）}^{2014-k}$
=2013[（1-2013）+2013]^2014-1=2013，
同理可得f₂₀₁₃（2014）=2014，
∴f₂₀₁₄（2013）＜f₂₀₁₃（2014）．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，組合數的性質以及組合數的計算公式，屬于中檔題．