Question

16．已知函數(shù)f（x）=alnx+（x+1）²，若圖象上存在兩個不同的點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＞x₂），使得f（x₁）-f（x₂）≤4（x₁-x₂）成立，則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 先求導數(shù)f′（x）=$\frac{a}{x}$+2（x+1），根據(jù)條件可得到 $\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$≤4，從而根據(jù)導數(shù)的定義便可得到$\frac{a}{x}$+2（x+1）≤4，這樣便可得到存在a≤-2x²+2x，容易求出二次函數(shù)y=-2x²+2x在（0，+∞）上的最大值，從而便可得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：f′（x）=$\frac{a}{x}$+2（x+1）；
∵x₁＞x₂；
∴x₁-x₂＞0；
∴由f（x₁）-f（x₂）≤4（x₁-x₂），
得：$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$≤4；
∴$\frac{a}{x}$+2（x+1）≤4；
問題轉(zhuǎn)化為存在a≤-2x²+2x成立；
∵-2x²+2x=-2（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$；
∴a≤$\frac{1}{2}$；
∴實數(shù)a的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{2}$]．
故答案為：（-∞，$\frac{1}{2}$]．

點評 考查函數(shù)導數(shù)的定義，配方法求二次函數(shù)的最值，以及關(guān)于恒成立問題的處理方法，要正確求導．