Question

13．已知公差不為0等差數(shù)列{a_n}滿足：a₁，a₂，a₇成等比數(shù)列，a₃=9．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，求數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差是d，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出a₁和d，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n；
（2）由（1）和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出S_n，代入$\frac{{S}_{n}}{n}$化簡(jiǎn)后，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，判斷出數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出T_n．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差是d（d≠0），
∵a₁，a₂，a₇成等比數(shù)列，a₃=9，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+6d）}\\{{a}_{1}+2d=9}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=4}\end{array}\right.$，
∴a_n=a₁+（n-1）d=4n-3；…6 分
（2）由（1）可得，S_n═$\frac{n（1+4n-3）}{2}$=2n²-n，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=2n-1，
則數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以2為公差、1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，
∴T_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，…12 分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查方程思想，化簡(jiǎn)、計(jì)算能力．