Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（1-a^x）（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意得，1-a^x＞0；從而討論a以求函數(shù)的定義域；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在其定義域（-∞，0）上是減函數(shù)，利用定義法證明．

解答： 解：（1）由題意得，1-a^x＞0；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1-a^x＞0的解集為（0，+∞）；
故f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）；
當(dāng)a＞1時(shí)，1-a^x＞0的解集為（-∞，0）；
故f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在其定義域（-∞，0）上是減函數(shù)，
證明如下，
任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
∵a＞1，則ax1＜ax2；
故1-ax1＞1-ax2；
故log_a（1-ax1）＞log_a（1-ax2）；
故f（x₁）＞f（x₂）；
故函數(shù)f（x）在其定義域（-∞，0）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域的求法及函數(shù)的單調(diào)性的證明，屬于基礎(chǔ)題．