Question

13．已知橢圓$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$，過A（0，1）作互相垂直的兩直線AB，AC與橢圓交于B，C兩點．
（Ⅰ）若直線BC經(jīng)過點$（\frac{8}{5}，\frac{4}{5}）$，求線段BC的長；
（Ⅱ）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）不妨設直線AB：y=kx+1（k＞0），則AC的方程為$y=-\frac{1}{k}x+1$．從而求出$B（{\frac{-18k}{{1+9{k^2}}}，\frac{{1-9{k^2}}}{{1+9{k^2}}}}）$，$C（{\frac{18k}{{{k^2}+9}}，\frac{{{k^2}-9}}{{{k^2}+9}}}）$，由此利用弦長公式能求出線段BC的長．
（Ⅱ）由已知求出${x_B}=-\frac{18k}{{1+9{k^2}}}$，${x_C}=\frac{18k}{{9+{k^2}}}$，從而求出|AB、和|AC|，由此能求出△ABC面積的最大值．

解答 （本小題滿分15分）
解：（Ⅰ）不妨設直線AB：y=kx+1（k＞0），則AC的方程為$y=-\frac{1}{k}x+1$．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{x^2}{9}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得：（1+9k²）x²+18kx=0，
∴$B（{\frac{-18k}{{1+9{k^2}}}，\frac{{1-9{k^2}}}{{1+9{k^2}}}}）$，
同理k用$-\frac{1}{k}$代入得，$C（{\frac{18k}{{{k^2}+9}}，\frac{{{k^2}-9}}{{{k^2}+9}}}）$，
∴${k_{BC}}=\frac{{\frac{{1-9{k^2}}}{{1+9{k^2}}}-\frac{{{k^2}-9}}{{{k^2}+9}}}}{{\frac{-18k}{{1+9{k^2}}}-\frac{18k}{{{k^2}+9}}}}=\frac{{{k^2}-1}}{10k}$，…（4分）
∴直線$BC：y-\frac{{1-9{k^2}}}{{1+9{k^2}}}=\frac{{{k^2}-1}}{10k}（x+\frac{18k}{{1+9{k^2}}}）$，
即$y=\frac{{{k^2}-1}}{10k}x-\frac{4}{5}$，
∴直線過定點$（{0，-\frac{4}{5}}）$，…（5分）
又∵直線過$（\frac{8}{5}，\frac{4}{5}）$，∴直線BC：$y=x-\frac{4}{5}$，
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=x-\frac{4}{5}}\\{{x^2}+9{y^2}=9}\end{array}}\right.$，得$10{x^2}-\frac{72}{5}x-\frac{81}{25}=0$，
由弦長公式得$|{BC}|=\frac{{6\sqrt{117}}}{25}$．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得${x_B}=-\frac{18k}{{1+9{k^2}}}$，${x_C}=\frac{18k}{{9+{k^2}}}$，
從而有$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{18k}{{1+9{k^2}}}，|{AC}|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\frac{18k}{{9+{k^2}}}$…（11分）
于是 ${S_△}ABC=\frac{1}{2}|{AB}||{AC}|=162\frac{{k（1+{k^2}）}}{{（1+9{k^2}）（9+{k^2}）}}=162\frac{{k+\frac{1}{k}}}{{9（{k^2}+\frac{1}{k^2}）+82}}$…（13分）
令$t=k+\frac{1}{k}≥2$，有${S_{△ABC}}=\frac{162t}{{9{t^2}+64}}=\frac{162}{{9t+\frac{64}{t}}}≤\frac{27}{8}$
當且僅當$t=\frac{8}{3}＞2$，$（{S_△}ABC）{\;}_{max}=\frac{27}{8}$…（15分）

點評 本題考查弦長的求法，考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質、直線方程、弦長公式的合理運用．