Question

設(shè)函數(shù)，；，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；

（3）求證：

 

Answer 1

（1）的定義域為，， 1分

令，

�。┊�(dāng)時： 的增區(qū)間為；

ⅱ）當(dāng)時：的減區(qū)間為；的增區(qū)間為.

（2）當(dāng)時， 在上的最大值為.

（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）的定義域為，，

分類討論如下：

�。┊�(dāng)時：

在區(qū)間上，恒成立，故的增區(qū)間為；

ⅱ）當(dāng)時：

在區(qū)間上，恒成立，故的減區(qū)間為；

在區(qū)間上，恒成立，故的增區(qū)間為.

（2）令，，則，利用“表解法”確定函數(shù)的最值.

表：

	遞減	極小值	遞增

 

（3）由（1）可知:當(dāng)a=1時，

轉(zhuǎn)化

由（2）已證:

得證.

試題解析：（1）的定義域為，， 1分

令，

�。┊�(dāng)時：

在區(qū)間上，恒成立，故的增區(qū)間為； 2分

ⅱ）當(dāng)時：

在區(qū)間上，恒成立，故的減區(qū)間為； 3分

在區(qū)間上，恒成立，故的增區(qū)間為. 4分

（2）ⅰ）時，，所以； 5分

ⅱ）時，易知，于是：，，

由（1）可知， 下證，即證明不等式在上恒成立.

（法一）由上可知：不等式在上恒成立，若，則，故

，即當(dāng)時，，從而，故當(dāng)時，恒成立，即. 7分

（法二）令，，則，列表如下：

表：

	遞減	極小值	遞增

 

由表2可知：當(dāng)時，，

故恒成立，即. 7分

由于，且，故函數(shù)區(qū)間內(nèi)必存在零點. 8分

又當(dāng)時，，指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)為增函數(shù)，

同理當(dāng)時，，指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)也為增函數(shù)，

于是，當(dāng)時， 必為增函數(shù)，

從而函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必存在唯一零點，不妨記為，則，

易知當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，

又易知，故；

綜上，當(dāng)時， 在上的最大值為. 10分

（3）由（1）可知:當(dāng)a=1時，

12分

由（2）已證:

故得證 14分

考點：1.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值，3.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式4.轉(zhuǎn)化與化歸思想.