Question

12．已知函數(shù)f（x）=e^x-2ax與g（x）=-x³+ax²-（2a+1）x的圖象不存在相互平行或重合的切線，則實數(shù)a的取值范圍[$-\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 由題意，函數(shù)f（x）=e^x-2ax與g（x）=-x³+ax²-（2a+1）x的圖象不存在相互平行或重合的切線，即不存在斜率相等，利用導函數(shù)求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=e^x-2ax，
則f′（x）=e^x-2a，
函數(shù)g（x）=-x³+ax²-（2a+1）x，
則g′（x）=-3x²+2ax-（2a+1），
∵不存在相互平行或重合的切線，即任意的切點不存在斜率相等．
∴e^x-2a=-3x²+2ax-（2a+1）無解．
e^x=-3x²+2ax-1無解．
∵e^x＞0，
方程無解，只需任意的x的值使得-3x²+2ax-1≤0即可．
令h（x）=-3x²+2ax-1≤0，
其對稱軸x=$\frac{a}{3}$，
則h（$\frac{3}{a}$）≤0，即$-3×\frac{{a}^{2}}{9}+2a×\frac{a}{3}-1≤0$，
解得：$-\sqrt{3}≤a≤\sqrt{3}$．
故答案為：[$-\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]

點評 本題考查了利用導函數(shù)求解函數(shù)斜率的問題，題中隱藏對任意的切點不存在斜率相等是解題的關(guān)鍵．屬于中檔題．