Question

9．如圖所示，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個點C₁，C₂，…，C₆，直徑AB上有異于A，B的四個點D₁，D₂，D₃，D₄，則：
（1）以這12個點（包括A，B）中的4個點為頂點，可作出多少個四邊形？
（2）以這10個點（不包括A，B）中的3個點為頂點，可作出多少個三角形？其中含點C₁的有多少個？

Answer 1

分析 （1）構成四邊形，需要四個點，且無三點共線，可以分成三類，利用組合知識求解即可；
（2）分成三類，利用組合知識求解即可．

解答 解：（1）構成四邊形，需要四個點，且無三點共線，可以分成三類：
①四個點從C₁，C₂，…，C₆中取出，有C₆⁴個四邊形；
②三個點從C₁，C₂，…，C₆中取出，另一個點從D₁，D₂，D₃，D₄，A，B中取出，有C₆³C₆¹個四邊形；
③二個點從C₁，C₂，…，C₆中取出，另外二個點從D₁，D₂，D₃，D₄，A，B中取出，有C₆²C₆²個四邊形．
故滿足條件的四邊形共有N=C₆⁴+C₆³C₆¹+C₆²C₆²=360（個）．
（2）類似于（1）可分三種情況討論得三角形個數(shù)為C₆³+C₆¹C₄²+C₆²C₄¹=116（個）．
其中含點C₁的有C₅²+C₅¹C₄¹+C₄²=36（個）．

點評 本題主要考查了分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理，如何分類是關鍵，屬于中檔題．