Question

4．下列命題中，正確命題的序號(hào)是②③④
①已知cos（$\frac{π}{2}$+φ）=-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且角φ的終邊有一點(diǎn)（2，a），則a=±2$\sqrt{3}$
②函數(shù)f（x）的定義域是R，f（-1）=2，對(duì)?x∈R，f'（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（-1，+∞）；
③根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程e^x-x-6=0一個(gè)根所在的區(qū)間為（2，3）；

x	-1	0	1	2	3
ex	0.37	1	2.72	7.39	20.09
x+6	5	6	7	8	9

④已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)f（x）=e^x-ax，若函數(shù)f（x）在R上有且只有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（e，+∞）．

Answer 1

分析 利用誘導(dǎo)公式可得sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再由正弦函數(shù)的定義求得a值判斷①；
利用已知可得f（x）是R上的增函數(shù)，由單調(diào)性得到關(guān)于x的一次不等式求解不等式的解集判斷②；
由圖表結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)判定定理判斷③；
首先判斷x=0不是零點(diǎn)，其次說明函數(shù)f（x）在x＞0和x＜0上均有兩個(gè)零點(diǎn)，對(duì)x＞0的函數(shù)f（x）求導(dǎo)，對(duì)a討論，說明a≤0不可能，a＞0時(shí)，求出單調(diào)區(qū)間，求出極小值，令它小于0，解出a的范圍判斷④．

解答 解：①由cos（$\frac{π}{2}$+φ）=-sinφ=-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又角φ的終邊有一點(diǎn)（2，a），∴$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，則a=2$\sqrt{3}$，故①錯(cuò)誤；
②令g（x）=f（x）-（2x+4），
則g′（x）=f′（x）-2，∵f'（x）＞2，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在R上為增函數(shù)，
當(dāng)x＞-1時(shí)，g（x）＞g（-1）=f（-1）-（-2+4）=0，即f（x）＞2x+4
∴f（x）＞2x+4的解集為（-1，+∞），故②正確；
③令f（x）=e^x-x-6，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，有f（2）=e²-（2+6）=7.39-8＜0，f（3）=e³-（3+6）=20.09-9＞0，
可以判定方程e^x-x-6=0一個(gè)根所在的區(qū)間為（2，3），故③正確；
④∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=e^x-ax，∴f（0）=e⁰-0=1，即x=0不是零點(diǎn)，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴函數(shù)f（x）在x＞0和x＜0上有相同的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
∵函數(shù)f（x）在R上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，∴f（x）在x＞0上有且只有2個(gè)零點(diǎn)，
∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=e^x-ax，導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-a，當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0恒成立，f（x）在x≥0上單調(diào)增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)a＞0時(shí)，可得f（x）的增區(qū)間為（lna，+∞），減區(qū)間為（-∞，lna），則f（lna）為極小值，令f（lna）＜0，
即e^lna-alna＜0，即a＜alna，lna＞1，解得，a＞e，∴a的取值范圍是（e，+∞），故④正確．
∴正確命題的序號(hào)是②③④．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的定義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了函數(shù)零點(diǎn)的判定方法，是中檔題．