Question

2．設(shè)曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N⁺）在點（1，1）處的切線與x軸的交點橫坐標為x_n，則log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+log₂₀₁₅x₃+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄的值為（　　）

• A． -log₂₀₁₅2014
• B． 1
• C． -1+log₂₀₁₅2014
• D． -1

Answer 1

分析 要求log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄，需求x₁•x₂•…•x₂₀₁₄的值，只須求出切線與x軸的交點的橫坐標即可，故先利用導數(shù)求出在x=1處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答 解：對y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）求導，得y′=（n+1）xⁿ，
令x=1得在點（1，1）處的切線的斜率k=n+1，在點
（1，1）處的切線方程為y-1=k（x_n-1）=（n+1）（x_n-1），
不妨設(shè)y=0，可得x_n=$\frac{n}{n+1}$，
則x₁•x₂•x₃…•x_n=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$…•$\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}$，
從而log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄
=log₂₀₁₅（x₁•x₂…x₂₀₁₄）
=log₂₀₁₅$\frac{1}{2015}$=-1．．
故選：D．

點評 本題主要考查直線的斜率、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．