Question

7．設(shè)f（x）=ln（x+1）．
（1）求滿足f（1-x）＞f（x-1）的x的取值的集合A；
（2）設(shè)集合B={x|1-m＜x＜2m}，若B⊆A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)f（x），把不等式f（1-x）＞f（x-1）轉(zhuǎn)化為$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞-1}\\{x-1＞-1}\\{1-x＞x-1}\end{array}\right.$，求出解集即得集合A；
（2）討論B=∅和B≠∅時(shí)，求出滿足條件的m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=ln（x+1），x+1＞0，
∴x＞-1；
∴不等式f（1-x）＞f（x-1）等價(jià)于
$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞-1}\\{x-1＞-1}\\{1-x＞x-1}\end{array}\right.$，
解得0＜x＜1，
∴集合A={x|0＜x＜1}；
（2）∵集合B={x|1-m＜x＜2m}，且B⊆A，
∴當(dāng)B=∅時(shí)，1-m≥2m，
解得m≤$\frac{1}{3}$；
當(dāng)B≠∅時(shí)，即$\left\{\begin{array}{l}{1-m＜2m}\\{1-m≥0}\\{2m≤1}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{3}$＜m≤$\frac{1}{2}$；
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了集合的化簡(jiǎn)與應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．