如圖,拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F(1,0),過(guò)點(diǎn)F任作兩條弦AC,BD,且
AC
BD
=0,E,G分別為AC、BD的中點(diǎn)
(1)寫出拋物線C的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)(3,0)的直線EG交拋物線C于M、N兩點(diǎn),試求|MN|的最小值.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析:(1)由已知得
p
2
=1
,由此能求出拋物線C的方程.
(2)當(dāng)直線EG的斜率不存在時(shí),直線EG的方程為x=3,此時(shí)|MN|=4
3
;當(dāng)直線EG的斜率k存在時(shí),設(shè)直線EG的方程為y=k(x-3),聯(lián)立
y=k(x-3)
y2=4x
,得k2x2-(6k2+4)x+9k2=0,由此利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式能求出|MN|的最小值.
解答: 解:(1)∵拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F(1,0),
p
2
=1
,解得p=2,
∴拋物線C的方程為y2=4x.
(2)當(dāng)直線EG的斜率不存在時(shí),直線EG的方程為x=3,
交拋物線于M(3,2
3
),N(3,-2
3
),此時(shí)|MN|=4
3
,
當(dāng)直線EG的斜率k存在時(shí),由題意知k≠0,
設(shè)直線EG的方程為y=k(x-3),
聯(lián)立
y=k(x-3)
y2=4x
,得k2x2-(6k2+4)x+9k2=0,
∵過(guò)點(diǎn)(3,0)的直線EG交拋物線C于M、N兩點(diǎn),
k2≠0
(6k2+4)2-36k4>0
,∴k≠0,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=
6k2+4
k2
,x1x2=9,
|MN|=
(1+k2)[(6+
4
k2
)2-36]
=4
(1+k2)(
3
k2
+
1
k4
)

=4
1
k4
+
4
k2
+3

=4
(
1
k2
+2)2-1
>4
3
,
∴|MN|的最小值為4
3
點(diǎn)評(píng):本題考查拋物線方程的求法,考查弦長(zhǎng)的最小值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,a=2,b=
7
,∠B=60°,則邊長(zhǎng)c=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為(
3
,0)
,且a=2b,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( 。
A、
x2
4
+y2
=1
B、
x2
2
+y2
=1
C、
y2
4
+x2
=1
D、
y2
2
+x2
=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x+1
x-2
,其中x∈[3,5].
(Ⅰ)用定義證明函數(shù)f(x)在[3,5]上單調(diào)遞減;
(Ⅱ)結(jié)合單調(diào)性,求函數(shù)f(x)=
x+1
x-2
在區(qū)間[3,5]上的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,且∠DAB=60°,AB=2AD=2,PD⊥底面ABC,則:
(1)證明:PA⊥BD;
(2)若PD=AD,求平面APB與平面CPB夾角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,已知原點(diǎn)O到直線AB的距離為
6
3
b
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn),以線段PB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2的直線l與該圓相切,求直線l的斜率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ln x-
a
x

(1)若f(x)存在最小值且最小值為2,求a的值;
(2)設(shè)g(x)=lnx-a,若g(x)<x2在(0,e]上恒成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線x2=4y上有一點(diǎn)長(zhǎng)為6的弦AB所在直線傾斜角為45°,則AB中點(diǎn)到x軸的距離為(  )
A、
3
4
B、
3
2
C、
17
4
D、
17
8

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知一企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為10萬(wàn)元,每生產(chǎn)千件該產(chǎn)品需另投入2.7萬(wàn)元,設(shè)該企業(yè)年內(nèi)共生產(chǎn)此種產(chǎn)品x千件,并且全部銷售完,每千件的銷售收入為f(x)萬(wàn)元,且f(x)=
10.8-
1
30
x2(0<x≤10)
108
x
-
1000
3x2
(x>10)

(Ⅰ)寫出年利潤(rùn)P(萬(wàn)元)關(guān)于產(chǎn)品年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)年產(chǎn)量x為多少千件時(shí),該企業(yè)生產(chǎn)此產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大?(注:年利潤(rùn)=年銷售收入-年總成本)

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