Question

19．（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）=$\frac{x-2}{x+2}$e^x的單調(diào)性，并證明當x＞0時，（x-2）e^x+x+2＞0；
（Ⅱ）證明：當a∈[0，1）時，函數(shù)g（x）=$\frac{{e}^{x}-ax-a}{{x}^{2}}$（x＞0）有最小值．設g（x）的最小值為h（a），求函數(shù)h（a）的值域．

Answer 1

分析 從導數(shù)作為切入點探求函數(shù)的單調(diào)性，通過函數(shù)單調(diào)性來求得函數(shù)的值域，利用復合函數(shù)的求導公式進行求導，然后逐步分析即可

解答 解：（1）證明：f（x）=$\frac{x-2}{x+2}{e}^{x}$
f'（x）=e^x（$\frac{x-2}{x+2}+\frac{4}{（x+2）^{2}}$）=$\frac{{x}^{2}{e}^{x}}{（x+2）^{2}}$
∵當x∈（-∞，-2）∪（-2，+∞）時，f'（x）＞0
∴f（x）在（-∞，-2）和（-2，+∞）上單調(diào)遞增
∴x＞0時，$\frac{x-2}{x+2}{e}^{x}$＞f（0）=-1
即（x-2）e^x+x+2＞0
（2）g'（x）=$\frac{（{e}^{x}-a）{x}^{2}-2x（{e}^{x}-ax-a）}{{x}^{4}}$
=$\frac{x（x{e}^{x}-2{e}^{x}+ax+2a）}{{x}^{4}}$=$\frac{（x+2）（\frac{x-2}{x+2}•{e}^{x}+a）}{{x}^{3}}$ 
a∈[0，1）
由（1）知，當x＞0時，f（x）=$\frac{x-2}{x+2}{e}^{x}$的值域為（-1，+∞），只有一解使得
$\frac{t-2}{t+2}•{e}^{t}=-a$，
只需$\frac{t-2}{t+2}$•e^t≤0恒成立，可得-2＜t≤2，
由x＞0，可得
t∈（0，2]
當x∈（0，t）時，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)減；
當x∈（t，+∞），g'（x）＞0，g（x）單調(diào)增；
h（a）=$\frac{{e}^{t}-a（t+1）}{{t}^{2}}$=$\frac{{e}^{t}+（t+1）\frac{t-2}{t+2}•{e}^{t}}{{t}^{2}}$=$\frac{{e}^{t}}{t+2}$
記k（t）=$\frac{{e}^{t}}{t+2}$，在t∈（0，2]時，k'（t）=$\frac{{e}^{t}（t+1）}{（t+2）^{2}}$＞0，
故k（t）單調(diào)遞增，
所以h（a）=k（t）∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{{e}^{2}}{4}$]．

點評 該題考查了導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性上的應用，重點是掌握復合函數(shù)的求導，以及導數(shù)代表的意義，計算量較大，難度較大．