Question

4．已知函數(shù)f（x）=（x-a）²lnx（a為常數(shù)）．
（Ⅰ）若f（x）在（1，f（1））處的切線與直線2x+2y-3=0垂直．
（�。┣髮�(shí)數(shù)a的值；
（ⅱ）若a非正，比較f（x）與x（x-1）的大��；
（Ⅱ）如果0＜a＜1，判斷f（x）在（a，1）上是否有極值，若有極值是極大值還是極小值？若無極值，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（i）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線的斜率是f′（1）=-$\frac{1}{k}$=1，解出a的值即可；
（ii）求出f（x）的表達(dá)式，作差，得到x²lnx-x（x-1）=x（xlnx-x+1），令g（x）=xlnx-x+1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值g（1）=0，得到g（x）≥0恒成立，從而求出f（x）與x（x-1）的大小即可；
（Ⅱ）求出f′（x）=（x-a）（2lnx+$\frac{x-a}{x}$），令F（x）=2lnx+1-$\frac{a}{x}$，求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（Ⅰ）（�。ゝ（x）定義域是（0，+∞），f′（x）=（x-a）（2lnx+$\frac{x-a}{x}$），
∵直線2x+2y-3=0的斜率為：k=-1，
∴f（x）在（1，f（1））處的切線的斜率-$\frac{1}{k}$=1，
即f′（1）=（1-a）（2ln1+$\frac{1-a}{1}$）=（1-a）²=1，
∴a=0或a=2；
（ⅱ）由（�。┲�，a=0，∴f（x）=x²lnx，
∵x²lnx-x（x-1）=x（xlnx-x+1），
∴令g（x）=xlnx-x+1，g′（x）=lnx，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
g（x）_min=g（1）=0，∴g（x）≥0恒成立，
即f（x）≥x（x-1）；
（Ⅱ）f′（x）=（x-a）（2lnx+$\frac{x-a}{x}$），
令F（x）=2lnx+1-$\frac{a}{x}$，F(xiàn)′（x）=$\frac{2x+a}{{x}^{2}}$＞0，
∴F（x）在（a，1）上單調(diào)遞增，又F（1）=1-a＞0，F(xiàn)（a）=2lna＜0，
所以在（a，1）上必存在x₀，使F（x₀）=0，
又x-a＞0，∴當(dāng)x∈（a，x₀），f′（x）＜0，x∈（x₀，1），f′（x）＞0，
∴f（x）在（a，x₀）單調(diào)遞減，在（x₀，1）單調(diào)遞增，
∴x=x₀是f（x）的極值點(diǎn)，且為極小值．

點(diǎn)評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)值的大小比較，是一道中檔題．