Question

14．已知|$\overrightarrow a$|=2，|$\overrightarrow b$|=1，（2$\overrightarrow a$-3$\overrightarrow b$）•（2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）=9．
（1）求向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角θ；
（2）求|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|和cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$＞的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量數(shù)量積的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
（2）根據(jù)向量模長公式以及向量數(shù)量積的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．

解答 解：（1）因?yàn)?|\overrightarrow a|=2，|\overrightarrow b|=1，（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=9$，
所以$4{\overrightarrow a^2}-4\overrightarrow a•\overrightarrow b-3{\overrightarrow b^2}=9$，即16-8cosθ-3=9，
得$cosθ=\frac{1}{2}$，
因?yàn)棣取蔥0，π]，所以$θ=\frac{π}{3}$．
（2）由（1）得知$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|\overrightarrow a||\overrightarrow b|cosθ=2×1×\frac{1}{2}=1$，
所以$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=\sqrt{{{\overrightarrow a}^2}+{{\overrightarrow b}^2}+2\overrightarrow a•\overrightarrow b}=\sqrt{4+1+2}=\sqrt{7}$，）
因?yàn)?\overrightarrow a•（\overrightarrow a+\overrightarrow b）={\overrightarrow a^2}+\overrightarrow a•\overrightarrow b=4+1=5$，
所以$cos＜\overrightarrow a，\overrightarrow a+\overrightarrow b＞=\frac{\overrightarrow a•（\overrightarrow a+\overrightarrow b）}{|\overrightarrow a|•|\overrightarrow a+\overrightarrow b|}=\frac{5}{{2×\sqrt{7}}}=\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$．

點(diǎn)評 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)向量數(shù)量積的公式建立方程公式是解決本題的關(guān)鍵．