Question

7．已知正數(shù)x，y滿足：x²+2xy=3，則z=$\frac{y}{x}$+$\frac{y-1}{x-1}$的取值范圍是z＞-3-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意y=$\frac{3-{x}^{2}}{2x}$＞0，則0＜x＜$\sqrt{3}$，再化簡z，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意y=$\frac{3-{x}^{2}}{2x}$＞0，則0＜x＜$\sqrt{3}$
z=$\frac{y}{x}$+$\frac{y-1}{x-1}$=$\frac{3}{2{x}^{2}}$-x-$\frac{7}{2}$，
∵x＞0，
∴z′=-$\frac{3}{{x}^{3}}$-1＜0，
∴函數(shù)在（0，$\sqrt{3}$）上單調(diào)遞減，
∴z＞-3-$\sqrt{3}$，
故答案為：z＞-3-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查最值的求法，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．