Question

16．已知圓C的方程為x²+y²=4．
（1）求過點(diǎn)P （-1，2）與圓相切的直線I的方程；
（2）直線m過點(diǎn)P （-1，2），與圓C交于AB兩點(diǎn)，且AB=$2\sqrt{3}$，求直線m的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出切線方程，利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑，求出k，即可求出過點(diǎn)P（-1，2）且與圓C相切的直線l的方程；
（2）通過弦長(zhǎng)|AB|=2$\sqrt{3}$，半徑與弦心距滿足勾股定理，求出直線的斜率，然后求直線l的方程．

解答 解：（1）顯然直線l的斜率存在，設(shè)切線方程為y-2=k（x+1），…（1分）
則$\frac{|k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2   …（2分）       
 解得，k₁=0，k₂=$\frac{4}{3}$，…（3分）
故所求的切線方程為y=2或4x-3y-10=0．…（5分）
（2）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，此時(shí)直線方程為x=-1，
l與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，$\sqrt{3}$）和（-1，-$\sqrt{3}$），
這兩點(diǎn)的距離為2$\sqrt{3}$，滿足題意；…（7分）
當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)其方程為y-2=k（x+1），…（8分）
即kx-y+k+2=0，
設(shè)圓心到此直線的距離為d，則2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{4-zpi0nvq^{2}}$，∴d=1，…（9分）
∴1=$\frac{|k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，∴k=-$\frac{3}{4}$，…（10分）
此時(shí)直線方程為3x+4y+5=0，…（11分）
綜上所述，所求直線方程為3x-+y+5=0或x=-1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的切線方程的求法，考查計(jì)算能力，注意直線的斜率不存在的情況．