Question

17．已知函數(shù)f（x）=log₂（x+1），當(dāng)點(diǎn)（x，y）是函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)（$\frac{x}{3}$，$\frac{y}{2}$）是函數(shù)y=g（x）圖象上的點(diǎn)．
（1）寫出函數(shù)y=g（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)g（x）-f（x）≥0時(shí)，求x的取值范圍．
（3）若方程f（x）-g（x）-m=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令$\frac{x}{3}$=m，$\frac{y}{2}$=n，由題設(shè)條件知n=$\frac{1}{2}$log₂（3m+1），再由（m，n）是函數(shù)y=g（x）的圖象上的點(diǎn)，可知函數(shù)y=g（x）的表達(dá)式；
（2）由題意知$\frac{1}{2}$log₂（3x+1）≥log₂（x+1），由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得$\left\{\begin{array}{l}{3x+1＞0}\\{x+1＞0}\\{3x+1≥（x+1）^{2}}\end{array}\right.$，解得0≤x≤1．
（3）由題疫條件知g（x）-f（x）=$\frac{1}{2}$log₂（3x+1）-log₂（x+1）=$\frac{1}{2}$log₂$\frac{3x+1}{（x+1）^{2}}$=$\frac{1}{2}$log₂$\frac{9}{（3x+1）+\frac{4}{3x+1}+4}$≤$\frac{1}{2}$log₂$\frac{9}{8}$．由此可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）令$\frac{x}{3}$=m，$\frac{y}{2}$=n，則x=3m，y=2n，由點(diǎn)（x，y）在y=log₂（x+1）的圖象上可得2n=log₂（3m+1），故n=$\frac{1}{2}$log₂（3m+1），
又（m，n）是函數(shù)y=g（x）的圖象上的點(diǎn)，故g（x）=$\frac{1}{2}$log₂（3x+1）（x＞-$\frac{1}{3}$）．
（2）因?yàn)間（x）-f（x）≥0，所以$\frac{1}{2}$log₂（3x+1）≥log₂（x+1）．
由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得$\left\{\begin{array}{l}{3x+1＞0}\\{x+1＞0}\\{3x+1≥（x+1）^{2}}\end{array}\right.$，解得0≤x≤1．
（3）g（x）-f（x）=$\frac{1}{2}$log₂（3x+1）-log₂（x+1）=$\frac{1}{2}$log₂$\frac{3x+1}{（x+1）^{2}}$=$\frac{1}{2}$log₂$\frac{9}{（3x+1）+\frac{4}{3x+1}+4}$≤$\frac{1}{2}$log₂$\frac{9}{8}$．
因?yàn)榉匠蘤（x）-g（x）-m=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
所以-m＜$\frac{1}{2}$log₂$\frac{9}{8}$，
所以m＞-$\frac{1}{2}$log₂$\frac{9}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性及判斷，考查函數(shù)解析式的求解，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．