Question

已知函數(shù)f（x）=x²+alnx+2．
（1）若f（x）在x=1處的切線與直線y=3x-1平行，求實數(shù)a的值．
（2）若f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，由直線平行的條件，得到a的方程，解出即可；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，即為f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，即有-a≤2x²在（2，+∞）上恒成立．求出2x²在（2，+∞）上值域即可得到．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=x²+alnx+2的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x+

a

x

，
則f（x）在x=1處的切線斜率為2+a，
由于在x=1處的切線與直線y=3x-1平行，則2+a=3，
則a=1；
（2）由于f′（x）=2x+

a

x

，
f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
即為f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，
即有-a≤2x²在（2，+∞）上恒成立．
由于2x²在（2，+∞）上值域為（8，+∞），
則有-a≤8，即a≥-8．
故實數(shù)a的取值范圍是[-8，+∞）．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點處切線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的運用：判斷單調(diào)性，屬于中檔題．