Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：若，對(duì)任意的，有．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）先求導(dǎo)得到，令，通過(guò)對(duì)判別式的討論得到的單調(diào)區(qū)間；（2）不妨設(shè)，要證明，只需證明，令

再利用導(dǎo)數(shù)證明即得證.

（1）

令

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，恒成立，

所以的單調(diào)增區(qū)間是，無(wú)減區(qū)間.

當(dāng)時(shí)，即或，

設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，

若，因?yàn)?/span>，所以都大于0，

所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增

若，，當(dāng)即時(shí)，都不為正數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為，

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間是，無(wú)減區(qū)間.

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為

的單調(diào)遞增區(qū)間為，

（2）不妨設(shè)，要證明，只需證明

，只需證明

令

因?yàn)?/span>，所以，

在是增函數(shù)，所以時(shí)，

即.