Question

3．已知拋物線y²=4x的準(zhǔn)線與雙曲線4x²-$\frac{y^2}{b^2}$=1（b＞0）交于A，B兩點，點F為拋物線的焦點，若△FAB為直角三角形，則雙曲線的離心率為$\frac{{\sqrt{57}}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的方程求出拋物線的準(zhǔn)線方程和焦點坐標(biāo)，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)建立方程關(guān)系進行求解即可．

解答 解：由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得拋物線的準(zhǔn)線為x=-1，拋物線的焦點F（1，0），
將x=-1代入雙曲線方程得4-$\frac{y^2}{b^2}$=1，即$\frac{y^2}{b^2}$=3，則y=±$\sqrt{3}$b，
設(shè)A（-1，$\sqrt{3}$b），B（-1，-$\sqrt{3}$b），
∵△FAB為直角三角形，
∴tan45°=$\frac{\sqrt{3}b}{2}$=1，則b=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
則雙曲線的方程為4x²-$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}$=1，
即$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}$-$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}$=1，則a=$\frac{1}{2}$，
c=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{4}{3}}$=$\frac{\sqrt{57}}{6}$，
則雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{\sqrt{57}}{6}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{{\sqrt{57}}}{3}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{57}}}{3}$

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)拋物線和雙曲線的性質(zhì)建立方程是解決本題的關(guān)鍵．