分析 (1)設P點坐標為(x0,y0),M點坐標為(x,y),由$\overrightarrow{MH}=\frac{3}{5}\overrightarrow{PH}$得,$\left\{{\begin{array}{l}{x={x_0}}\\{y=\frac{3}{5}{y_0}}\end{array}}\right.$,把P點代入x2+y2=25即可得出.
(2)由題設知,F1(-4,0),則MN:y=k1(x+4),PQ:y=k2(x+4),將MN與C的方程聯(lián)立消y得$(25{k}_{1}^{2}+9)$x2+200${k}_{1}^{2}$x+$400{k}_{1}^{2}$-225=0,設M(x1,y1),N(x2,y2),則$|MN|=\sqrt{{{({x_1}-{x_2})}^2}+{{({y_1}-{y_2})}^2}}=\sqrt{(1+k_1^2){{({x_1}-{x_2})}^2}}$=$\sqrt{(1+{k}_{1}^{2})[({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$.同理:|PQ|,k1k2=1,代入即可得出.
解答 解:(1)設P點坐標為(x0,y0),M點坐標為(x,y),
由$\overrightarrow{MH}=\frac{3}{5}\overrightarrow{PH}$得,$\left\{{\begin{array}{l}{x={x_0}}\\{y=\frac{3}{5}{y_0}}\end{array}}\right.$,而P點在x2+y2=25上,代入得$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.
(2)由題設知,F1(-4,0),則MN:y=k1(x+4),PQ:y=k2(x+4)
將MN與C的方程聯(lián)立消y得$(25{k}_{1}^{2}+9)$x2+200${k}_{1}^{2}$x+$400{k}_{1}^{2}$-225=0,
設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1、x2是“*”的二根,
則$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-\frac{200k_1^2}{25k_1^2+9}}\\{{x_1}{x_2}=\frac{400k_1^2-225}{25k_1^2+9}}\end{array}}\right.$,
則$|MN|=\sqrt{{{({x_1}-{x_2})}^2}+{{({y_1}-{y_2})}^2}}=\sqrt{(1+k_1^2){{({x_1}-{x_2})}^2}}$=$\sqrt{(1+k_1^2)[{{({x_1}+{x_2})}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\sqrt{(1+k_1^2)•\frac{400k_1^4-4(400k_1^2-225)(25k_1^2+9)}{{{{(25k_1^2+9)}^2}}}}$=$\frac{90(1+k_1^2)}{25k_1^2+9}$.
同理:$|PQ|=\frac{90(1+k_2^2)}{25k_2^2+9}$
∵k1k2=1∴$\frac{1}{|MN|}+\frac{1}{|PQ|}=\frac{1}{{\frac{90(1+k_1^2)}{25k_1^2+9}}}+\frac{1}{{\frac{90(1+k_2^2)}{25k_2^2+9}}}$
=$\frac{25k_1^2+9}{90(1+k_1^2)}+\frac{25k_2^2+9}{90(1+k_2^2)}=\frac{(25k_1^2+9)(1+k_2^2)+(25k_2^2+9)(1+k_1^2)}{90(1+k_1^2)(1+k_2^2)}$=$\frac{{18+34k_1^2+34k_2^2+50{{({k_1}{k_2})}^2}}}{{90[1+k_1^2+k_2^2+{{(kk)}^2}]}}=\frac{68+34k_1^2+34k_2^2}{90(2+k_1^2+k_2^2)}$=$\frac{34(2+k_1^2+k_2^2)}{90(2+k_1^2+k_2^2)}=\frac{17}{45}$,
∴$\frac{1}{|MN|}+\frac{1}{|PQ|}$為定值,值為$\frac{17}{45}$.
點評 本題考查了直線與橢圓相交弦長問題、圓的方程、一元二次方程的根與系數的關系、相互垂直的直線斜率之間的關系,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{59}{108}$ | B. | $\frac{43}{108}$ | C. | $\frac{\sqrt{177}}{18}$ | D. | $\frac{\sqrt{129}}{18}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com