Question

8．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）．
（1）證明{a_n+a_n-1}與{a_n-3a_n-1}分別都是等比數(shù)列并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）．即可得到a_n+a_n-1=3（a_n-1+a_n-2），a_n-3a_n-1=-（a_n-1-3a_n-2），利用等比數(shù)列的定義，證明即可；
（2）由（1），求出a_n=$\frac{1}{4}$×[7•3^n-1+13•（-1）^n-1]，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式計算即可．

解答 解：（1）a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3），
∴a_n+a_n-1=3a_n-1+3a_n-2=3（a_n-1+a_n-2），
∵a₁=5，a₂=2，
∴a₂+a₁=5+2=7，
∴數(shù)列{a_n+a_n-1}是以7為首項，3為公比的等比數(shù)列，
∵a_n=2a_n-1+3a_n-2，
∴a_n-3a_n-1=-（a_n-1-3a_n-2），
∵a₁=5，a₂=2，
∴a₂-3a₁=2-15=-13，
∴數(shù)列{a_n-3a_n-1}是以-13為首項，-1為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知數(shù)列{a_n+a_n-1}是以7為首項，3為公比的等比數(shù)列，數(shù)列{a_n-3a_n-1}是以-13為首項，-1為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+a_n-1=7•3^n-2，a_n-3a_n-1=-13•（-1）^n-2，
∴a_n=$\frac{1}{4}$×[7•3^n-1+13•（-1）^n-1]，
∴S_n=$\frac{1}{4}$[$\frac{7（1-{3}^{n}）}{1-3}$+$\frac{13（1-（-1）^{n}）}{1-（-1）}$]=$\frac{3}{4}$+$\frac{7}{8}$×3ⁿ-$\frac{1}{8}$×（-1）ⁿ．

點評 證明數(shù)列是等比數(shù)列，定義是根本，求數(shù)列的通項，正確運用等比數(shù)列的通項是關(guān)鍵．